Le maximum de f sur un intervalle est le point le plus élevé de la fonction f sur cet intervalle. Trouver ce maximum est important pour comprendre le comportement de la fonction et identifier les valeurs les plus élevées qu’elle peut atteindre.
Calcul du maximum de f sur l’intervalle
Pour déterminer le maximum de f sur un intervalle donné, il est nécessaire de suivre quelques étapes simples :
1. Trouver les points critiques de la fonction
Les points critiques d’une fonction correspondent aux endroits où sa dérivée s’annule. Pour trouver ces points, calculer la dérivée de la fonction f et résoudre l’équation f'(x) = 0.
2. Déterminer les valeurs aux extrémités de l’intervalle
Calculer les valeurs de la fonction f aux extrémités de l’intervalle donné. Ces valeurs peuvent être utilisées pour comparer avec les valeurs des points critiques.
3. Identifier le maximum
Comparer les valeurs des points critiques et des extrémités de l’intervalle pour déterminer le maximum de la fonction f sur cet intervalle. Le point qui a la plus grande valeur est le maximum recherché.
Exemple d’application
Supposons que nous ayons la fonction f(x) = x^2 – 2x sur l’intervalle [-1, 3]. Pour trouver le maximum de f sur cet intervalle, nous devons :
1. Trouver les points critiques : Calculons la dérivée de f(x) : f'(x) = 2x – 2. En résolvant l’équation f'(x) = 0, nous obtenons x = 1 comme point critique.
2. Calculer les valeurs aux extrémités : f(-1) = 3 et f(3) = 3. Ainsi, les valeurs aux extrémités sont plus élevées que le point critique trouvé.
3. Déterminer le maximum : Le maximum de f sur [-1, 3] est atteint en x = 3, avec une valeur de f(3) = 3.
Conclusion
En suivant ces étapes simples, il est possible de déterminer facilement le maximum de f sur un intervalle donné. Cette démarche est essentielle pour l’analyse des fonctions et la compréhension de leur comportement.