Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. La question de savoir si l’ensemble vide est compact est intéressante car la compacité est une propriété importante en mathématiques, notamment en topologie.
Qu’est-ce que la compacité d’un ensemble
La compacité d’un ensemble est une propriété qui mesure à quel point cet ensemble est « fermé » et « borné ». Un ensemble compact est un ensemble pour lequel, intuitivement, on ne peut pas « s’échapper à l’infini » en restant dans cet ensemble. En d’autres termes, un ensemble compact est un ensemble pour lequel toute suite contenue dans cet ensemble possède une sous-suite convergente dans cet ensemble.
L’ensemble vide est-il compact
En mathématiques, l’ensemble vide est généralement considéré comme compact. En effet, toute suite contenue dans l’ensemble vide est vide elle-même, ce qui signifie que toute sous-suite (qui est elle aussi une suite vide) est convergente dans l’ensemble vide. De plus, comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, il est automatiquement borné.
Conclusion
En résumé, l’ensemble vide est considéré comme compact en mathématiques, car il vérifie la définition de la compacité. Cependant, il est important de noter que cette notion peut varier en fonction du contexte mathématique dans lequel on se place.