Introduction
Lorsque l’on étudie une fonction sur un graphique, il peut être utile de connaître les valeurs prises par cette fonction, c’est-à-dire son ensemble image. Trouver l’image d’une fonction sur un graphique peut sembler complexe, mais avec les bonnes méthodes et astuces, cela devient plus facile. Dans cet article, nous allons explorer différentes façons de trouver l’image d’une fonction sur un graphique.
1. Analyser le graphe de la fonction
La première étape pour trouver l’image d’une fonction sur un graphique est d’analyser attentivement le graphe de la fonction. Il est important de repérer les points spécifiques tels que les maximums, minimums, points d’inflexion, et asymptotes. Ces points clés peuvent vous donner des indications sur les valeurs prises par la fonction.
Exemple:
Soit la fonction f(x) = x². En analysant le graphe de cette fonction, on peut observer que la parabole s’ouvre vers le haut et passe par l’origine. Ainsi, l’image de cette fonction est l’ensemble des nombres réels positifs.
2. Utiliser les propriétés de la fonction
En utilisant les propriétés de la fonction, il est possible de déterminer plus facilement son image sur un graphique. Par exemple, pour une fonction polynomiale, l’image peut être définie par le degré du polynôme. De même, pour une fonction trigonométrique, l’image peut être restreinte à un intervalle spécifique en fonction de la périodicité de la fonction.
Exemple:
Prenons la fonction sin(x). Comme la fonction sinus est périodique, son image est comprise entre -1 et 1. Ainsi, on sait que l’image de la fonction sin(x) sur un graphe se situe entre -1 et 1.
3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires
Le théorème des valeurs intermédiaires est un outil mathématique puissant pour déterminer l’image d’une fonction sur un intervalle donné. Ce théorème affirme qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné prend toutes les valeurs intermédiaires entre le minimum et le maximum de la fonction.
Exemple:
Considérons la fonction f(x) = x³ – x. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle [-1,1], on peut montrer que l’image de cette fonction sur cet intervalle est l’intervalle [-2,0].
Conclusion
En suivant ces différentes méthodes et astuces, il est possible de trouver facilement l’image d’une fonction sur un graphique. En analysant le graphe de la fonction, en utilisant les propriétés de la fonction, et en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on peut déterminer avec précision les valeurs prises par la fonction. Il est important de pratiquer régulièrement ces techniques pour améliorer sa compréhension des fonctions et de leurs images sur un graphique.