Introduction
Lorsque l’on étudie les vecteurs en mathématiques, une question fréquemment posée est de savoir si deux vecteurs sont orthogonaux. Dans cet article, nous allons expliquer en détail comment déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux à l’aide de leurs coordonnées.
Définition des vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Le produit scalaire de deux vecteurs ( vec{u} = (u_1, u_2, u_3) ) et ( vec{v} = (v_1, v_2, v_3) ) est donné par la formule:
[ vec{u} cdot vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 ]
Exemple 1:
Considérons deux vecteurs ( vec{u} = (1, 2, 3) ) et ( vec{v} = (2, -1, 2) ). Pour déterminer s’ils sont orthogonaux, calculons leur produit scalaire:
[ vec{u} cdot vec{v} = 1 times 2 + 2 times (-1) + 3 times 2 = 2 – 2 + 6 = 6 ]
Comme le produit scalaire est différent de zéro, les vecteurs ( vec{u} ) et ( vec{v} ) ne sont pas orthogonaux.
Exemple 2:
Prenons maintenant les vecteurs ( vec{u} = (1, -1, 0) ) et ( vec{v} = (1, 1, 0) ). Leur produit scalaire est:
[ vec{u} cdot vec{v} = 1 times 1 + (-1) times 1 + 0 times 0 = 1 – 1 + 0 = 0 ]
Dans ce cas, les vecteurs ( vec{u} ) et ( vec{v} ) sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul.
Solutions pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux
Pour vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux avec leurs coordonnées, suivez ces étapes simples:
- Calculer les coordonnées de chaque vecteur ( vec{u} ) et ( vec{v} )
- Calculer le produit scalaire en utilisant la formule expliquée précédemment
- Comparer le résultat obtenu avec zéro
- Si le produit scalaire est égal à zéro, les vecteurs sont orthogonaux. Sinon, ils ne le sont pas.
Astuce:
Si les coordonnées des vecteurs sont donnés sous forme de matrices, n’oubliez pas de transposer l’un des vecteurs avant de calculer le produit scalaire.
Conclusion
En conclusion, déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux avec leurs coordonnées est une tâche simple qui nécessite uniquement le calcul du produit scalaire entre ces vecteurs. En appliquant les étapes mentionnées ci-dessus, vous pourrez facilement vérifier si deux vecteurs sont orthogonaux ou non. Cela peut être utile dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique pour analyser la relation entre les vecteurs