Introduction
Deux polynômes sont dits premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que les constantes non nulles. Dans cet article, nous allons vous expliquer comment déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux, en vous donnant des méthodes simples et efficaces pour vérifier cette condition.
Méthode de l’algorithme d’Euclide
L’un des moyens les plus courants pour déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux est d’utiliser l’algorithme d’Euclide. Cette méthode repose sur le principe suivant : si le PGCD des deux polynômes est égal à 1, alors ils sont premiers entre eux.
Par exemple, considérons les polynômes P(x) = 2x^2 + 3x + 1 et Q(x) = x + 2. Pour appliquer l’algorithme d’Euclide, il suffit de diviser le polynôme de degré supérieur par le polynôme de degré inférieur et de répéter le processus jusqu’à obtenir un reste nul. Si le dernier diviseur est égal à 1, alors les polynômes sont premiers entre eux.
Exemple d’application de l’algorithme d’Euclide
Reprenons les polynômes P(x) = 2x^2 + 3x + 1 et Q(x) = x + 2 :
Divisions successives :
- Division de P(x) par Q(x) : 2x^2 + 3x + 1 = (2x – 1)(x + 2) + 3
- Division de Q(x) par 3 : x + 2 = (1/3)(3) + 0
Le dernier diviseur est 3, différent de 1. Par conséquent, les polynômes P(x) et Q(x) ne sont pas premiers entre eux.
Autres méthodes
Outre l’algorithme d’Euclide, il existe d’autres techniques pour déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux. Par exemple, on peut utiliser la méthode de la décomposition en facteurs premiers pour simplifier les polynômes et vérifier s’ils ont des diviseurs communs.
En conclusion, pour savoir si deux polynômes sont premiers entre eux, il suffit d’appliquer l’algorithme d’Euclide ou d’utiliser d’autres méthodes de factorisation. En suivant ces étapes simples, vous pourrez facilement déterminer si deux polynômes sont premiers entre eux.