Comment savoir si c’est un sous-espace vectoriel
Un sous-espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui satisfait à certaines propriétés spécifiques. Pour déterminer si un ensemble est un sous-espace vectoriel, il existe quelques étapes simples à suivre :
Définition d’un sous-espace vectoriel
Un sous-espace vectoriel est un ensemble V de vecteurs dans un espace vectoriel E tel que :
- L’ensemble V contient le vecteur nul de E.
- Il est fermé par addition, c’est-à-dire que si deux vecteurs de V sont ajoutés, le résultat est toujours dans V.
- Il est fermé par multiplication par un scalaire, c’est-à-dire que si un vecteur de V est multiplié par un scalaire, le résultat est également dans V
Vérification des propriétés
Pour vérifier si un ensemble est un sous-espace vectoriel, il faut s’assurer que :
- Le vecteur nul est inclus dans l’ensemble.
- La fermeture par addition est respectée.
- La fermeture par multiplication par un scalaire est respectée.
Exemple pratique
Considérons l’ensemble des vecteurs de la forme (x, y) tel que x et y soient des réels. Pour vérifier si cet ensemble est un sous-espace vectoriel, nous devons vérifier les trois propriétés mentionnées ci-dessus.
- Le vecteur nul est inclus : (0, 0) est bien présent dans l’ensemble.
- La fermeture par addition : si (x1, y1) et (x2, y2) appartiennent à l’ensemble, alors (x1+x2, y1+y2) doit également appartenir.
- La fermeture par multiplication par un scalaire : si (x, y) est dans l’ensemble, alors pour tout réel a, (ax, ay) doit également appartenir.
Conclusion
En suivant ces étapes simples, vous pourrez déterminer si un ensemble de vecteurs constitue un sous-espace vectoriel. N’oubliez pas de vérifier toutes les propriétés indispensables pour garantir la validité de votre ensemble. Bonne vérification !
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