Qu’est-ce qu’une intégrale absolument convergente
Une intégrale est dite absolument convergente si la valeur absolue de la fonction intégrée converge. Autrement dit, si l’intégrale de la valeur absolue de la fonction est finie, alors l’intégrale est absolument convergente.
Comment montrer qu’une intégrale est absolument convergente
Pour montrer qu’une intégrale est absolument convergente, il existe quelques méthodes courantes.
1. Utilisation du critère de convergence d’intégrales
Le critère de convergence d’intégrales stipule que si la fonction à intégrer est continue, positive et décroissante sur un intervalle borné, alors l’intégrale est convergente. Si vous pouvez montrer que la valeur absolue de la fonction est également continue, positive et décroissante sur cet intervalle, alors l’intégrale est absolument convergente.
2. Comparaison avec une intégrale connue
Il est parfois utile de comparer l’intégrale en question avec une intégrale dont la convergence est connue. En trouvant une fonction g(x) telle que 0 ≤ |f(x)| ≤ g(x) pour tout x dans l’intervalle d’intégration, et en montrant que l’intégrale de g(x) converge, vous pouvez conclure que l’intégrale de f(x) est absolument convergente.
3. Utilisation du critère de Cauchy
Le critère de Cauchy peut également être utilisé pour montrer qu’une intégrale est absolument convergente. Ce critère stipule que si pour tout ε > 0, il existe un réel positif N tel que pour tout m, n ≥ N, |∫[a, b] f(x) dx| < ε, alors l'intégrale est absolument convergente.
Exemple:
Considérons l’intégrale ∫[-1, 1] x^2 dx. Pour montrer que cette intégrale est absolument convergente, nous pouvons utiliser le critère de convergence d’intégrales en remarquant que la fonction x^2 est continue, positive et décroissante sur l’intervalle [-1, 1]. Par conséquent, l’intégrale est absolument convergente.
Conclusion
En suivant ces différentes méthodes et critères, il est possible de montrer qu’une intégrale est absolument convergente. Il est important de vérifier soigneusement les conditions requises et de faire attention aux détails pour arriver à une conclusion correcte.