Introduction
Lorsque l’on travaille en algèbre linéaire, il est souvent nécessaire de déterminer si un ensemble de vecteurs forme une base. Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui permet de générer tout l’espace vectoriel en utilisant des combinaisons linéaires de ces vecteurs. Dans cet article, nous allons vous expliquer comment montrer qu’un ensemble de vecteurs est une base.
Définition d’une base
Avant de rentrer dans le vif du sujet, il est important de rappeler ce qu’est une base dans le contexte des espaces vectoriels. Une base d’un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs qui est à la fois linéairement indépendant et qui engendre tout l’espace vectoriel en question.
Linéairement indépendant
Un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant s’il n’existe pas de combinaison linéaire de ces vecteurs qui donne le vecteur nul autre que celle où tous les coefficients sont nuls.
Générer tout l’espace vectoriel
Un ensemble de vecteurs permet de générer tout l’espace vectoriel s’il est possible d’exprimer n’importe quel vecteur de cet espace comme une combinaison linéaire des vecteurs de l’ensemble.
Comment montrer qu’un ensemble de vecteurs est une base
Vérifier que les vecteurs sont linéairement indépendants
Pour montrer qu’un ensemble de vecteurs forme une base, il est essentiel de vérifier tout d’abord que ces vecteurs sont linéairement indépendants. Pour cela, il suffit de former une combinaison linéaire des vecteurs égale au vecteur nul et de résoudre le système d’équations correspondant. Si la seule solution est que tous les coefficients sont nuls, alors les vecteurs sont linéairement indépendants.
Vérifier que les vecteurs génèrent tout l’espace vectoriel
Une fois que vous avez établi que les vecteurs sont linéairement indépendants, il est nécessaire de montrer qu’ils génèrent tout l’espace vectoriel. Pour cela, il faut vérifier que tout vecteur de l’espace peut être obtenu en faisant une combinaison linéaire des vecteurs de votre ensemble. Si aucun vecteur ne peut être exclu de cette combinaison, alors votre ensemble forme bien une base.
Exemple concret
Considérons l’ensemble de vecteurs suivant dans l’espace vectoriel ℝ³ :
v₁ = (1,0,0), v₂ = (0,1,0), v₃ = (0,0,1)
Pour montrer que cet ensemble forme une base, il suffit de vérifier que les vecteurs sont linéairement indépendants, ce qui est clairement le cas ici. De plus, tout vecteur de ℝ³ peut être obtenu en faisant une combinaison linéaire des vecteurs v₁, v₂ et v₃. Ainsi, on peut conclure que cet ensemble forme une base de ℝ³.
Conclusion
En suivant les étapes décrites ci-dessus, vous serez en mesure de montrer si un ensemble de vecteurs forme une base ou non. Il est essentiel de vérifier à la fois la linéairement indépendance des vecteurs et leur capacité à générer tout l’espace vectoriel. N’hésitez pas à appliquer ces méthodes à différents ensembles de vecteurs pour vous entraîner et mieux comprendre le concept de base dans les espaces vectoriels.