Pour montrer que deux sous-espaces vectoriels (sev) sont en somme directe, il faut démontrer que leur intersection est réduite à {0}. Cela signifie que l’unique vecteur commun aux deux sev est le vecteur nul. Il existe plusieurs méthodes pour montrer que deux sev sont en somme directe, en voici quelques-unes :
**Méthode 1 : Vérification des conditions pour la somme directe**
Tout d’abord, pour montrer que deux sev sont en somme directe, il faut vérifier deux conditions :
1. Les sev (V) et (W) sont en somme directe si (V cap W = {0}).
2. Les sev (V) et (W) sont supplémentaires si (V + W = E) où (E) est l’espace vectoriel engendré par (V) et (W).
Il suffit donc de vérifier que l’intersection des deux sev est réduite au vecteur nul et que la somme des deux sev engendre tout l’espace vectoriel.
**Méthode 2 : Utilisation des coordonnées**
Une autre méthode pour montrer que deux sev sont en somme directe est d’utiliser les coordonnées des vecteurs. En déterminant les coordonnées des vecteurs dans les sev (V) et (W), on peut vérifier que la somme des coordonnées est égale au vecteur nul si et seulement si les sev sont en somme directe.
**Exemple :**
Soit (V) le sev engendré par le vecteur ((1, 0)) et (W) le sev engendré par le vecteur ((0, 1)) dans (mathbb{R}^2). Pour montrer que (V) et (W) sont en somme directe, on vérifie que l’intersection des deux sev est réduite à ((0, 0)) et que tout vecteur dans (mathbb{R}^2) peut s’écrire de façon unique comme combinaison linéaire de ((1, 0)) et ((0, 1)).
En suivant ces méthodes, vous pourrez facilement montrer que deux sev sont en somme directe. N’oubliez pas de vérifier les conditions et de bien suivre les étapes pour une démonstration claire et rigoureuse