Introduction
Lorsque l’on souhaite montrer que deux sous-espaces vectoriels (sev) sont en somme directe, on cherche à démontrer que leur intersection est réduite à {0}. Autrement dit, seuls les vecteurs nuls sont communs aux deux sev. Dans cet article, nous allons explorer différentes méthodes pour parvenir à cette conclusion de manière rigoureuse et efficace.
Méthode 1: Vérifier l’indépendance linéaire
Une première méthode pour montrer que deux sev E et F sont en somme directe consiste à vérifier si leur somme est directe. Pour cela, on peut commencer par vérifier que les vecteurs de E et F sont linéairement indépendants. Si E et F sont linéairement indépendants et que leur somme est égale à l’espace vectoriel V, alors E et F sont en somme directe.
Exemple:
Soit E = {(x, 0, 0) | x ∈ R} et F = {(0, y, 0) | y ∈ R} deux sev de R^3. Pour montrer que E et F sont en somme directe, on peut constater que les vecteurs de E et F {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} sont linéairement indépendants. De plus, leur somme est égale à l’espace vectoriel R^3. Ainsi, E et F sont en somme directe.
Méthode 2: Utiliser le théorème de la dimension
Une autre méthode pour montrer que deux sev E et F sont en somme directe est d’utiliser le théorème de la dimension. Ce théorème stipule que si E et F sont en somme directe, alors dim(E + F) = dim(E) + dim(F). En vérifiant cette égalité, on peut conclure que E et F sont en somme directe.
Exemple:
Soit E = {(x, y, 0) | x,y ∈ R} et F = {(0, y, z) | y,z ∈ R} deux sev de R^3. En calculant les dimensions, on obtient dim(E) = 2 et dim(F) = 2. De plus, dim(E + F) = 3. Comme dim(E) + dim(F) = dim(E + F), on peut conclure que E et F sont en somme directe.
Conclusion
En suivant ces méthodes et en restant attentif aux propriétés des sev, il est possible de montrer de manière rigoureuse que deux sev sont en somme directe. Il est important de bien comprendre les concepts sous-jacents et de vérifier avec précision les conditions nécessaires pour aboutir à cette conclusion.