Introduction
Lorsqu’on travaille en topologie, il est parfois nécessaire de montrer que deux distances sont topologiquement équivalentes. Cela signifie que les ouverts générés par ces deux distances sont les mêmes, et donc que les propriétés topologiques des espaces correspondants sont équivalentes. Dans cet article, nous allons explorer différentes méthodes pour parvenir à cette conclusion de manière rigoureuse.
Définition des distances topologiques
Avant de pouvoir montrer l’équivalence topologique de deux distances, il est crucial de comprendre ce qu’est une distance topologique. En mathématiques, une distance est une fonction qui mesure la « distance » entre deux points d’un espace. Une distance topologique, quant à elle, induit une topologie sur l’espace en question, c’est-à-dire une collection d’ouverts satisfaisant certaines propriétés.
Méthode 1: Utiliser les bases ouvertes
Une première méthode pour montrer que deux distances sont topologiquement équivalentes est de comparer les bases ouvertes qu’elles induisent. Si les bases ouvertes des deux distances sont les mêmes, alors les ouverts générés seront également les mêmes, et les distances seront topologiquement équivalentes.
Exemple:
Soit l’espace euclidien $mathbb{R}^n$ muni de la distance euclidienne classique. On peut montrer que la distance $rho(x, y) = sqrt{sum_{i=1}^{n} |x_i – y_i|^2}$ est topologiquement équivalente à la distance euclidienne en montrant que les bases ouvertes qu’elles induisent sont les mêmes.
Méthode 2: Utiliser les fonctions continues
Une autre approche pour montrer l’équivalence topologique de deux distances est d’utiliser des fonctions continues. Si l’on peut trouver une fonction continue qui mappe l’espace muni d’une distance sur l’espace muni de l’autre distance de manière bijective et préservant les ouverts, alors les distances sont topologiquement équivalentes.
Exemple:
Considérons l’espace $mathbb{R}$ muni de la distance euclidienne et la distance discrète définie par $rho(x, y) = 1$ si $x neq y$ et $rho(x, y) = 0$ sinon. On peut montrer que ces deux distances sont topologiquement équivalentes en construisant une fonction continue bijective qui préserve les ouverts entre les deux espaces.
Conclusion
En conclusion, montrer que deux distances sont topologiquement équivalentes peut être réalisé en comparant les bases ouvertes ou en trouvant des fonctions continues appropriées. Ces méthodes nécessitent une compréhension approfondie de la topologie et de la distance, mais une fois maîtrisées, elles permettent d’établir des équivalences importantes entre les espaces métriques.