Démontrer que deux vecteurs ne sont pas coplanaires
Les vecteurs sont dits coplanaires s’ils appartiennent à un même plan. Pour montrer que deux vecteurs ne sont pas coplanaires, il suffit de vérifier s’ils sont linéairement indépendants. Voici comment procéder :
Vérifier la linéarité des vecteurs
Pour démontrer que deux vecteurs ne sont pas coplanaires, il faut d’abord vérifier s’ils sont linéairement indépendants. Pour cela, vous pouvez suivre ces étapes :
1. Représentation des vecteurs
Commencez par représenter graphiquement les deux vecteurs dans un repère en trois dimensions.
2. Calcul du déterminant
Calculez le déterminant de la matrice formée par les composantes des deux vecteurs. Si le déterminant est non nul, alors les vecteurs sont linéairement indépendants et donc non coplanaires.
Exemple pratique
Considérons deux vecteurs V1(1, 2, 3) et V2(2, 3, 1). Pour démontrer qu’ils ne sont pas coplanaires, calculons le déterminant :
| 1 2 |
| 2 3 | = 1*3 – 2*2 = 3 – 4 = -1
Comme le déterminant est non nul, les vecteurs V1 et V2 ne sont pas coplanaires.
Autres méthodes pour démontrer la non-coplanarité
En plus de la méthode basée sur la linéarité des vecteurs, il existe d’autres façons de montrer que deux vecteurs ne sont pas coplanaires, telles que l’angle entre les vecteurs ou la projection orthogonale.
En suivant ces méthodes et en vérifiant la linéarité des vecteurs, vous pouvez facilement démontrer que deux vecteurs ne sont pas coplanaires.