La dérivée d’une fraction est un concept fondamental en mathématiques, qui permet de trouver le taux de variation instantané d’une fonction rationnelle par rapport à sa variable. Pour calculer la dérivée d’une fraction, on applique les règles de dérivation classiques en considérant la fraction comme le quotient de deux fonctions.
Pour illustrer ce concept, prenons l’exemple de la fonction f(x) = (2x + 3) / (x – 1). Pour trouver la dérivée de cette fraction, on utilise la règle de la dérivée d’un quotient, qui stipule que la dérivée d’une fraction est égale au numérateur de la dérivée du quotient des deux fonctions moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur divisé par le carré du dénominateur.
Ainsi, pour notre exemple f(x), on commence par calculer la dérivée du numérateur (2x + 3) et du dénominateur (x – 1). On obtient donc:
f'(x) = [(2)(x-1) – (2x + 3)(1)] / (x – 1)^2
f'(x) = (2x – 2 – 2x – 3) / (x – 1)^2
f'(x) = (-5) / (x – 1)^2
Ainsi, la dérivée de la fonction f(x) = (2x + 3) / (x – 1) est f'(x) = -5 / (x – 1)^2.
Il est important de noter que dans certains cas, la dérivée d’une fraction peut présenter des cas particuliers tels que l’existence de discontinuités ou de points singuliers. Il est alors nécessaire d’adapter les méthodes de dérivation en fonction de ces spécificités pour obtenir un résultat correct.
En conclusion, la dérivée d’une fraction est un concept essentiel en mathématiques, qui nécessite l’application des règles de dérivation appropriées pour trouver le taux de variation instantané d’une fonction rationnelle. En suivant les étapes de calcul et en prenant en compte les éventuels cas particuliers, il est possible de déterminer la dérivée d’une fraction de manière précise et rigoureuse