Introduction
Montrer qu’une application est croissante est une étape importante en mathématiques pour prouver qu’une fonction augmente lorsque son argument augmente. Dans cet article, nous allons voir différentes méthodes pour démontrer de manière formelle que la fonction est croissante.
Définition d’une fonction croissante
Une fonction f est dite croissante sur un intervalle si pour tout réel x et y de cet intervalle, on a x < y implique f(x) ≤ f(y). Cela signifie que lorsque l'argument de la fonction augmente, la valeur de la fonction augmente également.
Méthodes pour montrer qu’une fonction est croissante
1. Utilisation de la dérivée
Une méthode courante pour montrer qu’une fonction est croissante est d’étudier le signe de sa dérivée. Si la dérivée de la fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.
2. Test de la monotonie
Le test de la monotonie consiste à étudier le signe de la différence entre deux images successives. Si cette différence est positive, alors la fonction est croissante.
3. Utilisation de la règle de Barrow
La règle de Barrow, également connue sous le nom de règle de la tangente, peut être utilisée pour montrer qu’une fonction est croissante. Elle consiste à comparer le taux de variation moyen de la fonction sur un intervalle donné.
Exemples spécifiques
Prenons par exemple la fonction f(x) = x^2 sur l’intervalle [0,+∞[. En calculant sa dérivée, on obtient f'(x) = 2x. Comme f'(x) est positif pour tout x dans l’intervalle, la fonction f est croissante sur cet intervalle.
Solutions si la fonction n’est pas croissante
S’il s’avère que la fonction n’est pas croissante sur un intervalle donné, il est possible de déterminer les points de non-croissance en étudiant le comportement de la fonction autour de ces points. Il est également possible que la fonction soit décroissante sur cet intervalle.
Conclusion
En conclusion, montrer qu’une fonction est croissante peut se faire de différentes manières, en utilisant notamment la dérivée, le test de la monotonie ou la règle de Barrow. Il est important de bien comprendre ces méthodes pour pouvoir prouver formellement la croissance d’une fonction.