Introduction :
Lorsqu’on souhaite montrer qu’une fonction est une primitive d’une autre, cela signifie que l’on cherche à établir un lien mathématique entre deux fonctions, l’une étant la dérivée de l’autre. Il existe plusieurs méthodes et astuces pour parvenir à démontrer cette relation. Dans cet article, nous allons vous présenter ces différentes approches de manière claire et didactique.
Méthode de résolution :
1. Méthode de la dérivation :
La première méthode consiste à vérifier si la dérivée d’une fonction est égale à une autre fonction. Pour ce faire, vous devez dériver la fonction supposée être la primitive de l’autre. Si le résultat de cette dérivation est égal à la fonction dont vous cherchez la primitive, alors vous avez établi que cette fonction est bien une primitive de l’autre.
2. Intégration directe :
Une autre approche est l’intégration directe. Cette méthode consiste à calculer l’intégrale de la fonction que vous suspectez être la primitive de l’autre. Si le résultat de cette intégrale correspond à la seconde fonction, alors vous avez réussi à montrer que la première fonction est bien une primitive de la seconde.
Exemples spécifiques :
Exemple 1 :
Soit f(x) = 3x². Pour montrer que f(x) est une primitive de la fonction g(x) = 6x, nous devons dériver f(x) pour obtenir sa dérivée : f'(x) = 6x. Comme f'(x) = g(x), nous pouvons conclure que f(x) est bien une primitive de g(x).
Exemple 2 :
Considérons h(x) = cos(x). Pour vérifier si h(x) est une primitive de la fonction i(x) = -sin(x), nous devons calculer l’intégrale de h(x) par rapport à x. En intégrant cos(x), nous obtenons sin(x). Comme sin(x) = i(x), nous pouvons affirmer que h(x) est une primitive de i(x).
Conclusion :
En utilisant les méthodes de dérivation et d’intégration directe, il est possible de montrer qu’une fonction est une primitive d’une autre. Ces approches mathématiques permettent d’établir des relations claires entre les fonctions et de démontrer leur lien de dérivation. En suivant ces étapes simples et en pratiquant régulièrement, vous serez en mesure de maîtriser cet aspect essentiel des mathématiques.