Introduction
Dans le domaine des mathématiques, il est souvent important de déterminer si une suite est minorée ou majorée. Cela peut être utile pour comprendre le comportement à long terme d’une série de nombres, ou pour évaluer si une suite tend vers une limite. Dans cet article, nous allons explorer les différentes méthodes pour déterminer si une suite est minorée ou majorée, en donnant des exemples spécifiques et des cas particuliers.
Définitions
Avant d’aborder les techniques pour déterminer si une suite est minorée ou majorée, il est important de clarifier ces termes. Une suite est dite minorée si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à un certain nombre, appelé la borne inférieure. De même, une suite est dite majorée si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à un certain nombre, appelé la borne supérieure.
Exemple:
Considérons la suite (1, 2, 3, 4, …). Cette suite est minorée par 1, car tous ses termes sont supérieurs ou égaux à 1. De même, cette suite est majorée par 4, car tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 4.
Déterminer si une suite est minorée ou majorée
Pour déterminer si une suite est minorée ou majorée, il faut examiner ses termes un par un. Si l’on constate que tous les termes sont supérieurs (ou égaux) à un certain nombre, alors la suite est minorée par ce nombre. De même, si tous les termes sont inférieurs (ou égaux) à un certain nombre, alors la suite est majorée par ce nombre.
Exemple:
Considérons la suite (-2, 1, 4, 7, …). Cette suite est minorée par -2, car tous ses termes sont supérieurs ou égaux à -2. Cependant, cette suite n’est pas majorée, car il n’existe pas de nombre qui soit supérieur ou égal à tous les termes de la suite.
Solutions
Si une suite est minorée, on peut souvent trouver sa borne inférieure en cherchant le plus petit terme de la suite. De même, si une suite est majorée, on peut trouver sa borne supérieure en cherchant le plus grand terme de la suite.
Exemple:
Reprenons la suite (-2, 1, 4, 7, …). Le terme le plus petit est -2, donc la suite est minorée par -2. Cependant, comme il n’y a pas de terme le plus grand, la suite n’est pas majorée.
Conclusion
Dans cet article, nous avons exploré les concepts de minoration et de majoration des suites en mathématiques. Nous avons vu comment déterminer si une suite est minorée ou majorée, en donnant des exemples spécifiques et des solutions pratiques. En comprenant ces concepts, on peut mieux appréhender le comportement des suites numériques et de leurs limites.